Hyperbel - Versionsgeschichte

Anlumue am 12. November 2025 um 09:48 Uhr

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	Die Hyperbel gehört wie der [[Kreis]], die [[Ellipse]] und die [[Parabel]] zu den sogenannten Kegelschnittkurven. Das sind Kurven, die entstehen, wenn ein (Doppel-)kegel von einer Ebene geschnitten wird. Die vier Kurven gehen auseinander hervor: Wenn die Schnittebene sich dreht, werden aus dem Kreis Ellipsen, dann eine Parabel und dann Hyperbeln. Unter anderem entstehen Kegelschnittkurven bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises.		Die Hyperbel gehört wie der [[Kreis]], die [[Ellipse]] und die [[Parabel]] zu den sogenannten Kegelschnittkurven. Das sind Kurven, die entstehen, wenn ein (Doppel-)kegel von einer Ebene geschnitten wird. Die vier Kurven gehen auseinander hervor: Wenn die Schnittebene sich dreht, werden aus dem Kreis Ellipsen, dann eine Parabel und dann Hyperbeln. Unter anderem entstehen Kegelschnittkurven bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises. (Abb. 2).

	So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Parabel findet man die Hyperbel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): Verfolgt man z.B. die Linie, die der Stab einer Sonnenuhr im Laufe eines Tages mit seinem Schatten „zeichnet“, dann bekommt man einen Hyperbel-Ast.		So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Parabel findet man die Hyperbel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): Verfolgt man z.B. die Linie, die der Stab einer Sonnenuhr im Laufe eines Tages mit seinem Schatten „zeichnet“, dann bekommt man einen Hyperbel-Ast.
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	Das Prinzip der wechselseitigen Beziehung zwischen den beiden Brennpunkten, das bei der [[Ellipse]] anzutreffen ist, findet sich auch bei der Hyperbel, nur dass jeder Strahl einmal durch das Unendliche geht, bevor er auf den zweiten Brennpunkt trifft:		Das Prinzip der wechselseitigen Beziehung zwischen den beiden Brennpunkten, das bei der [[Ellipse]] anzutreffen ist, findet sich auch bei der Hyperbel, nur dass jeder Strahl einmal durch das Unendliche geht, bevor er auf den zweiten Brennpunkt trifft:
	Ein Strahl, der von einem Brennpunkt (z.B. F2) einer Hyperbel ausgeht, wird an der Hyperbelkurve reflektiert, um dann im Unendlichen zu verschwinden, auf der anderen Seite wieder aufzutauchen und den zweiten Brennpunkt (F1) zu treffen - und umgekehrt. (siehe Abb.2)		Ein Strahl, der von einem Brennpunkt (z.B. F2) einer Hyperbel ausgeht, wird an der Hyperbelkurve reflektiert, um dann im Unendlichen zu verschwinden, auf der anderen Seite wieder aufzutauchen und den zweiten Brennpunkt (F1) zu treffen - und umgekehrt (siehe Abb. 3).

	Bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises erscheint als Abbild immer dann eine Hyperbel, wenn der Betrachtende sich in dem Kreis befindet:		Bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises erscheint als Abbild immer dann eine Hyperbel, wenn der Betrachtende sich in dem Kreis befindet: Je nach Blickwinkel erscheint der vor dem Betrachter liegende Teil des Kreises als nach unten gedrehter Hyperbel-Ast. Im realen Leben können wir den hinter uns liegenden Teil des Kreises natürlich nicht sehen. Mathematisch konstruktiv betrachtet, lässt sich dieser Teil des Kreises aber durchaus abbilden: Er erscheint – sozusagen „von hinten durchs Auge aufs Bild projiziert“ - spiegelverkehrt über dem Horizont, als zweiter Hyperbel-Ast. Der Kreis „zerfällt“ also in der perspektivischen Abbildung in zwei Hyperbel-Äste – einen tatsächlich sichtbaren unten und einen seitenverkehrten, „irrealen“ oder „transzendenten“ oben. Dazwischen gibt es einen „Sprung“ durch das Unendliche von links unten nach rechts oben, von rechts unten nach links oben und umgekehrt.

	Je nach Blickwinkel erscheint der vor dem Betrachter liegende Teil des Kreises als nach unten gedrehter Hyperbel-Ast.

	Im realen Leben können wir den hinter uns liegenden Teil des Kreises natürlich nicht sehen. Mathematisch konstruktiv betrachtet, lässt sich dieser Teil des Kreises aber durchaus abbilden: Er erscheint – sozusagen „von hinten durchs Auge aufs Bild projiziert“ - spiegelverkehrt über dem Horizont, als zweiter Hyperbel-Ast.

	Der Kreis „zerfällt“ also in der perspektivischen Abbildung in zwei Hyperbel-Äste – einen tatsächlich sichtbaren unten und einen seitenverkehrten, „irrealen“ oder „transzendenten“ oben. Dazwischen gibt es einen „Sprung“ durch das Unendliche von links unten nach rechts oben, von rechts unten nach links oben und umgekehrt.

	In der Literatur spricht man von einer Hyperbel, wenn über das Glaubwürdige hinaus übertrieben wird.		In der Literatur spricht man von einer Hyperbel, wenn über das Glaubwürdige hinaus übertrieben wird.

Anlumue am 12. November 2025 um 09:42 Uhr

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	'''Information:''' Der Name Hyperbel stammt vom altgriechischen bállein „werfen“ und hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“ und bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt, und bei einer Hyperbel größer als 1 ist. (Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, eine Ellipse hat einen ε-Wert zwischen 0 und 1 und der ε-Wert einer Parabel ist gleich 1.)		'''Information:''' Der Name Hyperbel stammt vom altgriechischen bállein „werfen“ und hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“ und bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt, und bei einer Hyperbel größer als 1 ist. (Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, eine Ellipse hat einen ε-Wert zwischen 0 und 1 und der ε-Wert einer Parabel ist gleich 1.)


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	So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Parabel findet man die Hyperbel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): Verfolgt man z.B. die Linie, die der Stab einer Sonnenuhr im Laufe eines Tages mit seinem Schatten „zeichnet“, dann bekommt man einen Hyperbel-Ast.		So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Parabel findet man die Hyperbel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): Verfolgt man z.B. die Linie, die der Stab einer Sonnenuhr im Laufe eines Tages mit seinem Schatten „zeichnet“, dann bekommt man einen Hyperbel-Ast.




	[[Datei:Hyperbel 2.JPG\|links\|500x500px]]		[[Datei:Hyperbel 2.JPG\|links\|500x500px]]

Anlumue am 12. November 2025 um 09:36 Uhr

2025-11-12T09:36:53Z

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	[[Datei:~~hyperbel_01_72~~.~~jpg~~\|~~left~~]]		[[Datei:Hyperbel 01 72.JPG\|links]]
	'''Definition:''' Eine Hyperbel ist eine zweigeteilte Kurve, deren beide Teile (Hyperbel-Äste) ins Unendliche geöffnet sind. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, für die gilt, dass die (positive) Differenz ihrer Abstände zu zwei verschiedenen Punkten F1 und F2 gleich groß ist. F1 und F2 werden Brennpunkte der Hyperbel genannt.
	~~'''AF1–AF2 = BF1–BF2 = CF2-CF1 = konst.''' (siehe Abb.1)~~



	'''Information:''' Der Name Hyperbel stammt vom altgriechischen bállein „werfen“ und hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“ und bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt, und bei einer Hyperbel größer als 1 ist. (Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, eine Ellipse hat einen ε-Wert zwischen 0 und 1 und der ε-Wert einer Parabel ist gleich 1.)



	~~[[Datei~~:~~sym~~-~~kegelschnitte_72~~.~~jpg\|right]]~~		'''Definition:''' Eine Hyperbel ist eine zweigeteilte Kurve, deren beide Teile (Hyperbel-Äste) ins Unendliche geöffnet sind. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, für die gilt, dass die (positive) Differenz ihrer Abstände zu zwei verschiedenen Punkten F1 und F2 gleich groß ist. F1 und F2 werden Brennpunkte der Hyperbel genannt.
			'''AF1–AF2 = BF1–BF2 = CF2-CF1 = konst.''' (siehe Abb.1)

	~~Die~~ Hyperbel ~~gehört wie der [[Kreis]], die [[Ellipse]]~~ und die ~~[[Parabel]] zu den sogenannten Kegelschnittkurven. Das sind Kurven~~, die ~~entstehen, wenn ein (Doppel-)kegel~~ von ~~einer Ebene geschnitten wird. Die vier Kurven gehen auseinander hervor: Wenn die Schnittebene sich dreht~~, ~~werden aus dem Kreis Ellipsen, dann eine Parabel~~ und ~~dann Hyperbeln. Unter anderem entstehen Kegelschnittkurven~~ bei ~~der perspektivischen Abbildung eines Kreises.~~		'''Information:''' Der Name Hyperbel stammt vom altgriechischen bállein „werfen“ und hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“ und bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt, und bei einer Hyperbel größer als 1 ist. (Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, eine Ellipse hat einen ε-Wert zwischen 0 und 1 und der ε-Wert einer Parabel ist gleich 1.)
	~~So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Parabel findet man die~~ Hyperbel ~~in der Natur~~ als ~~„Spuren“ der vierten Dimension~~ (~~Zeit oder Bewegung): Verfolgt man z.B. die Linie, die der Stab einer Sonnenuhr im Laufe~~ eines ~~Tages mit seinem Schatten „zeichnet“~~, ~~dann bekommt man~~ einen ~~Hyperbel~~-~~Ast~~.

			[[Datei:sym-kegelschnitte_72.jpg]]


			Die Hyperbel gehört wie der [[Kreis]], die [[Ellipse]] und die [[Parabel]] zu den sogenannten Kegelschnittkurven. Das sind Kurven, die entstehen, wenn ein (Doppel-)kegel von einer Ebene geschnitten wird. Die vier Kurven gehen auseinander hervor: Wenn die Schnittebene sich dreht, werden aus dem Kreis Ellipsen, dann eine Parabel und dann Hyperbeln. Unter anderem entstehen Kegelschnittkurven bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises.

			So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Parabel findet man die Hyperbel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): Verfolgt man z.B. die Linie, die der Stab einer Sonnenuhr im Laufe eines Tages mit seinem Schatten „zeichnet“, dann bekommt man einen Hyperbel-Ast.

	[[Datei:~~Hyperbel_A~~.~~jpg~~\|~~left~~\|]]		[[Datei:Hyperbel 2.JPG\|links\|500x500px]]

	Das Prinzip der wechselseitigen Beziehung zwischen den beiden Brennpunkten, das bei der [[Ellipse]] anzutreffen ist, findet sich auch bei der Hyperbel, nur dass jeder Strahl einmal durch das Unendliche geht, bevor er auf den zweiten Brennpunkt trifft:
	Ein Strahl, der von einem Brennpunkt (z.B. F2) einer Hyperbel ausgeht, wird an der Hyperbelkurve reflektiert, um dann im Unendlichen zu verschwinden, auf der anderen Seite wieder aufzutauchen und den zweiten Brennpunkt (F1) zu treffen - und umgekehrt. (siehe Abb.2)


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	[[~~Datei~~:~~Hyperbel_als_Kreisabbild~~.~~jpg\|right]]~~		Das Prinzip der wechselseitigen Beziehung zwischen den beiden Brennpunkten, das bei der [[Ellipse]] anzutreffen ist, findet sich auch bei der Hyperbel, nur dass jeder Strahl einmal durch das Unendliche geht, bevor er auf den zweiten Brennpunkt trifft:
			Ein Strahl, der von einem Brennpunkt (z.B. F2) einer Hyperbel ausgeht, wird an der Hyperbelkurve reflektiert, um dann im Unendlichen zu verschwinden, auf der anderen Seite wieder aufzutauchen und den zweiten Brennpunkt (F1) zu treffen - und umgekehrt. (siehe Abb.2)

	Bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises erscheint als Abbild immer dann eine Hyperbel, wenn der Betrachtende sich in dem Kreis befindet:		Bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises erscheint als Abbild immer dann eine Hyperbel, wenn der Betrachtende sich in dem Kreis befindet:

	Je nach Blickwinkel erscheint der vor dem Betrachter liegende Teil des Kreises als nach unten gedrehter Hyperbel-Ast.		Je nach Blickwinkel erscheint der vor dem Betrachter liegende Teil des Kreises als nach unten gedrehter Hyperbel-Ast.

	Im realen Leben können wir den hinter uns liegenden Teil des Kreises natürlich nicht sehen. Mathematisch konstruktiv betrachtet, lässt sich dieser Teil des Kreises aber durchaus abbilden: Er erscheint – sozusagen „von hinten durchs Auge aufs Bild projiziert“ - spiegelverkehrt über dem Horizont, als zweiter Hyperbel-Ast.Der Kreis „zerfällt“ also in der perspektivischen Abbildung in zwei Hyperbel-Äste – einen tatsächlich sichtbaren unten und einen seitenverkehrten, „irrealen“ oder „transzendenten“ oben. Dazwischen gibt es einen „Sprung“ durch das Unendliche von links unten nach rechts oben, von rechts unten nach links oben und umgekehrt.		Im realen Leben können wir den hinter uns liegenden Teil des Kreises natürlich nicht sehen. Mathematisch konstruktiv betrachtet, lässt sich dieser Teil des Kreises aber durchaus abbilden: Er erscheint – sozusagen „von hinten durchs Auge aufs Bild projiziert“ - spiegelverkehrt über dem Horizont, als zweiter Hyperbel-Ast.

			Der Kreis „zerfällt“ also in der perspektivischen Abbildung in zwei Hyperbel-Äste – einen tatsächlich sichtbaren unten und einen seitenverkehrten, „irrealen“ oder „transzendenten“ oben. Dazwischen gibt es einen „Sprung“ durch das Unendliche von links unten nach rechts oben, von rechts unten nach links oben und umgekehrt.

	In der Literatur spricht man von einer Hyperbel, wenn über das Glaubwürdige hinaus übertrieben wird.		In der Literatur spricht man von einer Hyperbel, wenn über das Glaubwürdige hinaus übertrieben wird.

Anlumue am 12. November 2025 um 09:22 Uhr

2025-11-12T09:22:56Z

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	[[Datei:~~Hyperbel~~.jpg\|left]]		[[Datei:hyperbel_01_72.jpg\|left]]
	'''Definition:''' Eine Hyperbel ist eine zweigeteilte Kurve, deren beide Teile (Hyperbel-Äste) ins Unendliche geöffnet sind. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, für die gilt, dass die (positive) Differenz ihrer Abstände zu zwei verschiedenen Punkten F1 und F2 gleich groß ist. F1 und F2 werden Brennpunkte der Hyperbel genannt.		'''Definition:''' Eine Hyperbel ist eine zweigeteilte Kurve, deren beide Teile (Hyperbel-Äste) ins Unendliche geöffnet sind. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, für die gilt, dass die (positive) Differenz ihrer Abstände zu zwei verschiedenen Punkten F1 und F2 gleich groß ist. F1 und F2 werden Brennpunkte der Hyperbel genannt.
	'''AF1–AF2 = BF1–BF2 = CF2-CF1 = konst.''' (siehe Abb.1)		'''AF1–AF2 = BF1–BF2 = CF2-CF1 = konst.''' (siehe Abb.1)
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	'''Information:''' Der Name Hyperbel stammt vom altgriechischen bállein „werfen“ und hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“ und bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt, und bei einer Hyperbel größer als 1 ist. (Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, eine Ellipse hat einen ε-Wert zwischen 0 und 1 und der ε-Wert einer Parabel ist gleich 1.)		'''Information:''' Der Name Hyperbel stammt vom altgriechischen bállein „werfen“ und hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“ und bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt, und bei einer Hyperbel größer als 1 ist. (Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, eine Ellipse hat einen ε-Wert zwischen 0 und 1 und der ε-Wert einer Parabel ist gleich 1.)

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(kein Unterschied)