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Kirche-Gebäude

2025-11-12T18:20:53Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Kirche-Gebäude

'''Links:''' [[Kirche]], [[Basilika]], [[Kathedrale]], [[Kloster]], [[Bauwerk]], [[Kreuz]], [[Mandala]], [[Christus]], [[Selbst]]

'''Definition:''' siehe [[Kirche]] : ''Kirche [mhd. kirche, ahd. kiricha; spätgriech. kyrikón= Gotteshaus, zu älter: kyriakón, eigtl. = das zum Herrn gehörende (Haus), zu: kýrios= Herr]: geweihtes Gebäude mit einem oder mehreren [Glocken]türmen, in dem die Mitglieder einer christlichen Glaubensgemeinschaft Gottesdienst abhalten, beten, liturgische Handlungen vollziehen u. a.''

'''Information''': siehe [[Kirche]]

Kirchengebäude lassen sich unterscheiden in Klosterkirchen, Kapellen, Wallfahrtskirchen, Dorfkirchen oder Stadtkirchen. Die großen Kirchen einer Stadt werden oft Kathedralen, Dome oder Münster genannt.
Die Geschichte der christlichen Kirchenbaukunst ist ein Wechselspiel zwischen der Inszenierung des Weges zum Allerheiligsten und der Inszenierung der Einheitserfahrung in der göttlichen Mitte.

DER WEG: Für das Gebäude der christlichen Kirche entstand schon in frühchristlicher Zeit die Form der [[Basilika]].

Nikolaus Pevsner schreibt in seinem Buch „Europäische Architektur“:

„Die spezifischen Funktionen des christlichen Gotteshauses haben in dieser Epoche bereits einen so adäquaten und endgültigen architektonischen Ausdruck gefunden, dass keine gotische Kathedrale, kein Kirchenbau der Gegenwart daneben wesentlich Neues aufzuweisen hat. Die frühchristliche Kirche in der Form der Basilika ist das Symbol des Weges, auf dem die Gläubigen dem Wunder der Transsubstantiation entgegenschreiten. Das Ziel diese Weges ist die Apsis mit dem Altar, auf dem sich das Mysterium der Fleischwerdung Gottes vollzieht.“ Die Form der Basilika scheint auf Kultbauten heidnischer Sekten zurückzuführen zu sein.

[[Datei:San Apollinare Nuovo.gif|links|mini]]

Abb. Schemagrundriss der Basilika S. Apollinare Nuovo in Ravenna, frühes 6. Jhrd

DIE MITTE: Zeitgleich entwickelte sich als zweiter Bautyp der Zentralbau. Hier steht das Zentrum, die Mitte im Mittelpunkt des Gebäudes. Der Zentralbau entstand aus der Rundform des römischen Grabmals. Aus praktischen Gründen wurde diese Form oft für Taufkapellen verwandt. Besonders in Byzanz entwickelte sich dieser Typ zum Standardtyp bis ins 14. Jahrhundert.

Der Grundriss solcher Zentralbauten hat die Form eines [[Mandala]]s (z.B. achteckig) oder auch eines griechischen [[Kreuz]]es (ein Kreuz mit gleich langen Seiten).

[[File:San Vitale Ravenna.gif]]

Hier der Grundriss der Kirche San Vitale in Ravenna, erbaut 547 n. Christus.

Im Südwesten befindet sich der sogenannte Narthex, ein dem eigentlichen Gebäude vorgelagerter Raum, in dem man sich vor dem Gottesdienst versammelte. Dem Narthex gegenüber befindet sich die Apsis, in der der Altar steht.
Der Grundriss zeigt ein Mandala, aber natürlich kein ganz geschlossenes, sondern ein Mandala mit Öffnungen, durch die man das Gebäude betreten und wieder verlassen kann. Über dem mittleren Achteck erhebt sich eine Kuppel.

Kurz gefasst, könnte man sagen: Aus der Kombination und/oder Durchdringung dieser beiden Bauformen (Basilika und Zentralbau) entwickelten sich die verschiedenen Kirchenformen des christlichen Abendlandes. Wichtig sind die Inszenierung des Weges einerseits und die Zentrierung auf die Mitte andererseits, beides - „verinnerlicht“- nach innen in das Gebäude hinein verlegt. Die Kirchengebäude der verschiedenen Epochen sind in ihrer Ausgestaltung stark geprägt vom jeweiligen religiösen Zeitempfinden; dabei spielt das Thema der Transzendenz eine ganz wichtige Rolle. Aber die diesseitigen Interessen der weltlichen und geistlichen Machthaber hatten natürlich ebenfalls großen Einfluss auf die Gestaltung. Immer kann man aber auch den symbolischen Ausdruck für den Weg zum Allerheiligsten und/oder die Inszenierung der Mitte erleben. Mal ist das eine vorrangig, mal das andere, mal sind beide gleich bedeutsam.

'''Interpretation:''' In der Regel betritt der Mensch den Kirchenraum im Westen und schreitet durch ihn hindurch zur Apsis im Osten. Diese Himmelsrichtungen symbolisieren den weltlichen Bereich im Westen und den geistigen Bereich im Osten. Tiefenpsychologisch kann man das mit dem Bereich des Ichs (im Westen) und des [[Selbst]] (im Osten) gleichsetzen.

Dann symbolisiert eine in Basilika-Form gebaute Kirche die „Ich-Selbst-Achse“. Dieses Symbol lässt sich nicht nur anschauen, sondern begehen, das bedeutet durch die körperliche Bewegung und alle sinnlichen Wahrnehmungen real erleben!

Das ist das ganz Besondere an der Architektur: Das, was durch sie symbolisch ausgedrückt wird, ist unmittelbar und körperlich erfahrbar!

Als zusätzliches Element schiebt sich bei vielen Kirchen u.a. zwischen die Längsachse und die Apsis ein Querschiff, sodass die Kirche die Grundrissform eines christlichen Kreuzes hat. Die sogenannte Vierung ist der Bereich, in dem sich Längs- und Querschiff überschneiden, die Schnittstelle des Kreuzes. Diese Vierung ist mitunter mit einer Kuppel überwölbt. Es ist der geometrische Ort der „Vereinigung“ der Gegenrichtungen der Längs- und Querachse, West-Ost und Nord-Süd.

Diese Stelle hat (auf mich) eine magische Anziehungskraft. Manchmal ist sie dem Besucher zugänglich, oft gehört sie aber auch schon zum heiligen Bereich, der der Zeremonie der Heiligen Messe vorbehalten ist. Mitunter empfängt der Gläubige hier die Heilige Kommunion. Auch die Hostie ist ja wiederum ein Symbol für das Selbst, das in diesem Moment verinnerlicht wird (siehe C. G. Jung, Psychologie und Religion). So wird der Ritus durch die Architektur des Gebäudes begleitet.

[[Datei:Santiago-Catedral-Planta.gif]]

Abb. Grundriss der Kathedrale in Santiago de Compostela, erbaut ab 1077, Quelle wikimedia commons, Urheber: José-Manuel Benito

Das ganz persönliche, achtsame und respektvolle Erspüren dieser oben beschriebenen räumlichen Inszenierungen kann sehr ergreifend sein und m. E. eine heilsame Wirkung haben.
Vielleicht ließen (und lassen) sich die Kirchengebäude aber auch gerade dadurch von einer doktrinären kirchlichen Institution dazu missbrauchen, die Gläubigen unmündig zu halten?

Anmerkung: Die abgebildeten Kirchengrundrisse sind nicht maßstabsgleich.

'''Literatur:''' Standard; Nikolaus Pevsner, Europäische Architektur; www.kirchengucker.de

'''Autor:''' Ernst, Christine

Datei:Santiago-Catedral-Planta.gif

2025-11-12T18:19:37Z

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Datei:Santiago-Catedral-Planta.gif

2025-11-12T18:14:57Z

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Kirche-Gebäude

2025-11-12T18:13:59Z

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2025-11-12T15:18:48Z

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Kirche-Gebäude

2025-11-12T15:16:32Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Kirche-Gebäude

'''Links:''' [[Kirche]], [[Basilika]], [[Kathedrale]], [[Kloster]], [[Bauwerk]], [[Kreuz]], [[Mandala]], [[Christus]], [[Selbst]]

'''Definition:''' siehe [[Kirche]] : ''Kirche [mhd. kirche, ahd. kiricha; spätgriech. kyrikón= Gotteshaus, zu älter: kyriakón, eigtl. = das zum Herrn gehörende (Haus), zu: kýrios= Herr]: geweihtes Gebäude mit einem oder mehreren [Glocken]türmen, in dem die Mitglieder einer christlichen Glaubensgemeinschaft Gottesdienst abhalten, beten, liturgische Handlungen vollziehen u. a.''

'''Information''': siehe [[Kirche]]

Kirchengebäude lassen sich unterscheiden in Klosterkirchen, Kapellen, Wallfahrtskirchen, Dorfkirchen oder Stadtkirchen. Die großen Kirchen einer Stadt werden oft Kathedralen, Dome oder Münster genannt.
Die Geschichte der christlichen Kirchenbaukunst ist ein Wechselspiel zwischen der Inszenierung des Weges zum Allerheiligsten und der Inszenierung der Einheitserfahrung in der göttlichen Mitte.

DER WEG: Für das Gebäude der christlichen Kirche entstand schon in frühchristlicher Zeit die Form der [[Basilika]].

Nikolaus Pevsner schreibt in seinem Buch „Europäische Architektur“:

„Die spezifischen Funktionen des christlichen Gotteshauses haben in dieser Epoche bereits einen so adäquaten und endgültigen architektonischen Ausdruck gefunden, dass keine gotische Kathedrale, kein Kirchenbau der Gegenwart daneben wesentlich Neues aufzuweisen hat. Die frühchristliche Kirche in der Form der Basilika ist das Symbol des Weges, auf dem die Gläubigen dem Wunder der Transsubstantiation entgegenschreiten. Das Ziel diese Weges ist die Apsis mit dem Altar, auf dem sich das Mysterium der Fleischwerdung Gottes vollzieht.“ Die Form der Basilika scheint auf Kultbauten heidnischer Sekten zurückzuführen zu sein.

[[index.php?title=Datei:San_Apollinare_Nuovo.gif|links]]

Abb. Schemagrundriss der Basilika S. Apollinare Nuovo in Ravenna, frühes 6. Jhrd

DIE MITTE:
Zeitgleich entwickelte sich als zweiter Bautyp der Zentralbau. Hier steht das Zentrum, die Mitte im Mittelpunkt des Gebäudes. Der Zentralbau entstand aus der Rundform des römischen Grabmals. Aus praktischen Gründen wurde diese Form oft für Taufkapellen verwandt. Besonders in Byzanz entwickelte sich dieser Typ zum Standardtyp bis ins 14. Jahrhundert.

Der Grundriss solcher Zentralbauten hat die Form eines [[Mandala]]s (z.B. achteckig) oder auch eines griechischen [[Kreuz]]es (ein Kreuz mit gleich langen Seiten).

[[File:San Vitale Ravenna.gif]]

Hier der Grundriss der Kirche San Vitale in Ravenna, erbaut 547 n. Christus.

Im Südwesten befindet sich der sogenannte Narthex, ein dem eigentlichen Gebäude vorgelagerter Raum, in dem man sich vor dem Gottesdienst versammelte. Dem Narthex gegenüber befindet sich die Apsis, in der der Altar steht.
Der Grundriss zeigt ein Mandala, aber natürlich kein ganz geschlossenes, sondern ein Mandala mit Öffnungen, durch die man das Gebäude betreten und wieder verlassen kann. Über dem mittleren Achteck erhebt sich eine Kuppel.

Kurz gefasst, könnte man sagen: Aus der Kombination und/oder Durchdringung dieser beiden Bauformen (Basilika und Zentralbau) entwickelten sich die verschiedenen Kirchenformen des christlichen Abendlandes.

Wichtig sind die Inszenierung des Weges einerseits und die Zentrierung auf die Mitte andererseits, beides - „verinnerlicht“- nach innen in das Gebäude hinein verlegt.

Die Kirchengebäude der verschiedenen Epochen sind in ihrer Ausgestaltung stark geprägt vom jeweiligen religiösen Zeitempfinden; dabei spielt das Thema der Transzendenz eine ganz wichtige Rolle. Aber die diesseitigen Interessen der weltlichen und geistlichen Machthaber hatten natürlich ebenfalls großen Einfluss auf die Gestaltung. Immer kann man aber auch den symbolischen Ausdruck für den Weg zum Allerheiligsten und/oder die Inszenierung der Mitte erleben. Mal ist das eine vorrangig, mal das andere, mal sind beide gleich bedeutsam.

'''Interpretation:''' In der Regel betritt der Mensch den Kirchenraum im Westen und schreitet durch ihn hindurch zur Apsis im Osten. Diese Himmelsrichtungen symbolisieren den weltlichen Bereich im Westen und den geistigen Bereich im Osten. Tiefenpsychologisch kann man das mit dem Bereich des Ichs (im Westen) und des [[Selbst]] (im Osten) gleichsetzen.
Dann symbolisiert eine in Basilika-Form gebaute Kirche die „Ich-Selbst-Achse“. Dieses Symbol lässt sich nicht nur anschauen, sondern begehen, das bedeutet durch die körperliche Bewegung und alle sinnlichen Wahrnehmungen real erleben!
Das ist das ganz Besondere an der Architektur: Das, was durch sie symbolisch ausgedrückt wird, ist unmittelbar und körperlich erfahrbar!

Als zusätzliches Element schiebt sich bei vielen Kirchen u.a. zwischen die Längsachse und die Apsis ein Querschiff, so dass die Kirche die Grundrissform eines christlichen Kreuzes hat. Die sogenannte Vierung ist der Bereich, in dem sich Längs- und Querschiff überschneiden, die Schnittstelle des Kreuzes. Diese Vierung ist mitunter mit einer Kuppel überwölbt. Es ist der geometrische Ort der „Vereinigung“ der Gegenrichtungen der Längs- und Querachse, West-Ost und Nord-Süd.

Diese Stelle hat (auf mich) eine magische Anziehungskraft. Manchmal ist sie dem Besucher zugänglich, oft gehört sie aber auch schon zum heiligen Bereich, der der Zeremonie der Heiligen Messe vorbehalten ist. Mitunter empfängt der Gläubige hier die Heilige Kommunion. Auch die Hostie ist ja wiederum ein Symbol für das Selbst, das in diesem Moment verinnerlicht wird (siehe C.G. Jung, Psychologie und Religion). So wird der Ritus durch die Architektur des Gebäudes begleitet.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Santiago-Catedral-Planta.gif

Abb. Grundriss der Kathedrale in Santiago de Compostela, erbaut ab 1077, Quelle wikimedia commons, Urheber: José-Manuel Benito

Das ganz persönliche, achtsame und respektvolle Erspüren dieser oben beschriebenen räumlichen Inszenierungen kann sehr ergreifend sein und m. E. eine heilsame Wirkung haben.
Vielleicht ließen (und lassen) sich die Kirchengebäude aber auch gerade dadurch von einer doktrinären kirchlichen Institution dazu missbrauchen, die Gläubigen unmündig zu halten?

Anmerkung: Die abgebildeten Kirchengrundrisse sind nicht maßstabsgleich.

'''Literatur:''' Standard; Nikolaus Pevsner, Europäische Architektur; www.kirchengucker.de

'''Autor:''' Ernst, Christine

Lemniskate

2025-11-12T15:12:26Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Lemniskate

'''Links:''' [[Unendlichkeit]], [[Polarität]], [[Hyperbel]], [[Ellipse]], [[Kreis]], [[Zwei]], [[Vier]], [[Eins]], [[Magier (Tarot)]]

[[Datei:Lemniskate 1.jpg|links|mini]]

 

 
 
 
 
 

'''Definition:''' Eine (Bernoullische) Lemniskate ist eine zweidimensionale schleifenförmige Kurve. Der Begriff stammt von Jakob Bernoulli (1654 - 1705) und bezieht sich auf den griechischen Begriff „lemniscos“ =“ Band, Schleife“.
Geometrisch ist die Lemniskate definiert als der Ort aller Punkte P, deren Produkt der Abstände von zwei festen nicht identischen Punkten F1 und F2 gleich dem Quadrat des halben Abstandes zwischen den zwei Punkten F1 und F2 beträgt.

'''Information:'''Die Lemniskate wird auch als liegende Acht bezeichnet. In der Mathematik wird sie als Zeichen für Unendlich gebraucht: '''∞'''
Wegen der unendlich hin- und her schwingenden Bewegung, die die Form der Lemniskate impliziert, immer abwechselnd zwei Pole umkreisend, gilt die Lemniskate in der Esoterik als Symbol für die Ewigkeit.
 
Bei den [[Freimaurer]]n wird die Lemniskate als Symbol für die weltweite Bruderkette verwendet.
 
Der Magier aus dem Tarotspiel trägt als Hut eine Lemniskate.([[Magier (Tarot)]])
 
In der Kinesiologie wird mit ausgestreckten Armen die Form der Lemniskate nachgefahren, um die Verbindung zwischen den beiden Gehirnhälften zu intensivieren.

[[Datei:Lemniskate_Hyperbel.jpg|left]]

'''Interpretation: ''' Eine Lemniskate umkreist zwei voneinander verschiedene Punkte (Pole), der Schwung von der einen Seite kommend scheint gerade auszureichen, den entgegengesetzten Pol zu umkreisen. Deshalb kann die Lemniskate als Symbol für eine ausgeglichene Balance zwischen den verschiedenen Polaritäten welcher Art auch immer verstanden werden. Durch eine Inversion am Kreis wird eine [[Hyperbel]] in eine Lemniskate verwandelt – und umgekehrt. Man nennt diese Transaktion auch Kreisspiegelung, obwohl es sich nicht um eine geometrische Spiegelung im eigentlichen Sinne handelt.[Die mathematische Festlegung ist dabei folgende: Zu jedem Strahl durch den Mittelpunkt M einer Hyperbel (hier grün gezeichnet) gibt es einen Punkt A, für den gilt: Der Abstand vom Mittelpunkt M zum Schnittpunkt des Strahls mit der Hyperbel (Punkt B) multipliziert mit dem Abstand von M nach A ist gleich dem Quadrat des Kreisradius r. Alle Punkte, für die diese Festlegung gilt, bilden eine Lemniskate (hier blau gezeichnet).]

Durch diese Inversion am Kreis werden alle vier ins Unendliche verschwindenden offenen Enden der Hyperbel auf den einen Mittelpunkt (M) der Lemniskate abgebildet. Aus dem am weitesten Entfernten wird das Allernächste, das Zentrum, der Mittelpunkt.- und aus der [[vier]] die [[eins]].

Während die [[Hyperbel]] das Zerrissen-Sein des Menschen zwischen den Polaritäten darzustellen scheint, so zeigt die Lemniskate eine ausgeglichene Balance. Vielleicht könnte man die mathematische Transaktion der Kreisspiegelung, die vom einen zum anderen führt, als Konzentration, Zentrierung, Verinnerlichung oder auch als Rücknahme von Projektionen verstehen? (Natürlich ist auch hier, wie bei jeder „psychologischen Deutung“ mathematischer Gegebenheiten, eine angemessene Vorsicht geboten.)

[[Datei:Konstruktion Lemniskate_1.gif|left]]

Dass eine Lemniskate die wechselseitige Beziehung zwischen zwei Polen darstellt, lässt sich durch die Konstruktion mit einem Lemniskatenlenker besonders schön und anschaulich darstellen.

Hier wird deutlich, wie beim Umfahren der Schleife auf der einen Seite der Einfluss des einen Pols schwindet, während gleichzeitig der andere Pol an Einfluss gewinnt – und umgekehrt. Zwei Pole sind hier als Punkte F1 und F2 dargestellt. Sie sind gleichzeitig Mittelpunkte zweier Kreise, die sich so schneiden, dass zwischen ihren zwei Schnittpunkten und den beiden Mittelpunkten F1 und F2 ein Kreuz mit vier gleich langen Teilstrecken entsteht.

Die beiden Pole F1 und F2 werden jetzt durch drei gelenkig miteinander verbundene Stäbe verbunden (rot, schwarz, blau). Die Länge des roten und des blauen Stabes entspricht dem Radius der Kreise. Der schwarze Stab zwischen den beiden ist so lang wie der Abstand zwischen den beiden Polen. In der Mitte des schwarzen Stabes ist ein grüner Punkt (L) markiert.

[[Datei:Konstruktion Lemniskate 2.gif|links]]

Bewegt man jetzt einen der Stäbe, passiert folgendes: Der rote Stab kreist um den Punkt F1, der blaue Stab, gezogen vom schwarzen Stab, bewegt sich im Kreis um den Punkt F2. Der schwarze Stab befindet sich dazwischen und der markierte grüne Punkt L zieht die Kurve der Lemniskate nach. Verknüpft mit beiden Kreisbewegungen, schwingt der grüne Punkt schleifenförmig um die beiden Pole herum. Während er um den linken Pol (F1) schwingt, bewegt sich der rote Stab schnell, er scheint die Zugkraft zu besitzen, während der blaue seine Geschwindigkeit verlangsamt. Wenn der schwarze Stab wieder senkrecht steht, kippt die Anordnung: nun beschleunigt der blaue Stab und der rote wird langsam, während der grüne Punkt auf der Kurve der Lemniskate um den rechten Pol (F2) herumschwingt.

Im Internetlexikon Wikipedia kann man unter dem Stichwort Lemniskate die Bewegung eines Lemniskatenlenkers in einer Animation betrachten.

Im Gegensatz zur "Quadratur des Kreises" ist eine "Quadratur der Lemniskate" geometrisch einfach: Die Fläche, die die Lemniskate umschreibt, ist genauso groß wie der Flächeninhalt des (in der Zeichnung grauen) Quadrates, das durch die Schnittpunkte der beiden oben beschriebenen Kreise und den beiden Polen F1 und F2 aufgespannt wird, der Wert beträgt 2a², wobei a der jeweilige Abstand der beiden Pole vom Zentrum der ganzen Anordnung ist.

[[Datei:Quadratur_Lemniskate.gif|left]]

'''Literatur:''' Standard; Wolfgang Haack, Darstellende Geometrie I-III, Sammlung Göschen de Gruyter; Arnold Bernhard, Projektive Geometrie aus der Raumanschauung zeichnend entwickelt, Verlag Freies Geistesleben; wikipedia, Wikimedia Commons, https://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/cassini1.htm

'''Autor:''' Ernst, Christine

2025-11-12T12:45:08Z

Anlumue:

Lemniskate

2025-11-12T12:39:29Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Lemniskate

'''Links:''' [[Unendlichkeit]], [[Polarität]], [[Hyperbel]], [[Ellipse]], [[Kreis]], [[Zwei]], [[Vier]], [[Eins]], [[Magier (Tarot)]]

[[index.php?title=Datei:Lemniskate.jpg]]

'''Definition:''' Eine (Bernoullische) Lemniskate ist eine zweidimensionale schleifenförmige Kurve. Der Begriff stammt von Jakob Bernoulli (1654 - 1705) und bezieht sich auf den griechischen Begriff „lemniscos“ =“ Band, Schleife“.

Geometrisch ist die Lemniskate definiert als der Ort aller Punkte P, deren Produkt der Abstände von zwei festen nicht identischen Punkten F1 und F2 gleich dem Quadrat des halben Abstandes zwischen den zwei Punkten F1 und F2 beträgt.

'''Information:''' Die Lemniskate wird auch als liegende Acht bezeichnet. In der Mathematik wird sie als Zeichen für Unendlich gebraucht: '''∞'''
Wegen der unendlich hin- und her schwingenden Bewegung, die die Form der Lemniskate impliziert, immer abwechselnd zwei Pole umkreisend, gilt die Lemniskate in der Esoterik als Symbol für die Ewigkeit.
Bei den [[Freimaurer]]n wird die Lemniskate als Symbol für die weltweite Bruderkette verwendet.
Der Magier aus dem Tarotspiel trägt als Hut eine Lemniskate.([[Magier (Tarot)]])
In der Kinesiologie wird mit ausgestreckten Armen die Form der Lemniskate nachgefahren, um die Verbindung zwischen den beiden Gehirnhälften zu intensivieren.

[[Datei:Lemniskate_Hyperbel.jpg|left]]

'''Interpretation: ''' Eine Lemniskate umkreist zwei voneinander verschiedene Punkte (Pole), der Schwung von der einen Seite kommend scheint gerade auszureichen, den entgegengesetzten Pol zu umkreisen. Deshalb kann die Lemniskate als Symbol für eine ausgeglichene Balance zwischen den verschiedenen Polaritäten welcher Art auch immer verstanden werden.Durch eine Inversion am Kreis wird eine [[Hyperbel]] in eine Lemniskate verwandelt – und umgekehrt. Man nennt diese Transaktion auch Kreisspiegelung, obwohl es sich nicht um eine geometrische Spiegelung im eigentlichen Sinne handelt.[Die mathematische Festlegung ist dabei folgende: Zu jedem Strahl durch den Mittelpunkt M einer Hyperbel ( hier grün gezeichnet) gibt es einen Punkt A, für den gilt: Der Abstand vom Mittelpunkt M zum Schnittpunkt des Strahls mit der Hyperbel (Punkt B) multipliziert mit dem Abstand von M nach A ist gleich dem Quadrat des Kreisradius r. Alle Punkte, für die diese Festlegung gilt, bilden eine Lemniskate (hier blau gezeichnet).]

Durch diese Inversion am Kreis werden alle vier ins Unendliche verschwindenden offenen Enden der Hyperbel auf den einen Mittelpunkt (M) der Lemniskate abgebildet. Aus dem am weitesten Entfernten wird das Allernächste, das Zentrum, der Mittelpunkt.- und aus der [[vier]] die [[eins]].

Während die [[Hyperbel]] das Zerrissen-Sein des Menschen zwischen den Polaritäten darzustellen scheint, so zeigt die Lemniskate eine ausgeglichene Balance. Vielleicht könnte man die mathematische Transaktion der Kreisspiegelung, die vom einen zum anderen führt, als Konzentration, Zentrierung, Verinnerlichung oder auch als Rücknahme von Projektionen verstehen?

(Natürlich ist auch hier, wie bei jeder „psychologischen Deutung“ mathematischer Gegebenheiten, eine angemessene Vorsicht geboten.)

[[Datei:Konstruktion Lemniskate_1.gif|left]]

Dass eine Lemniskate die wechselseitige Beziehung zwischen zwei Polen darstellt, lässt sich durch die Konstruktion mit einem Lemniskatenlenker besonders schön und anschaulich darstellen.

Hier wird deutlich wie beim Umfahren der Schleife auf der einen Seite der Einfluss des einen Pols schwindet, während gleichzeitig der andere Pol an Einfluss gewinnt – und umgekehrt. Zwei Pole sind hier als Punkte F1 und F2 dargestellt. Sie sind gleichzeitig Mittelpunkte zweier Kreise, die sich so schneiden, dass zwischen ihren zwei Schnittpunkten und den beiden Mittelpunkten F1 und F2 ein Kreuz mit vier gleich langen Teilstrecken entsteht.

Die beiden Pole F1 und F2 werden jetzt durch drei gelenkig miteinander verbundene Stäbe verbunden (rot, schwarz, blau). Die Länge des roten und des blauen Stabes entspricht dem Radius der Kreise. Der schwarze Stab zwischen den beiden ist so lang wie der Abstand zwischen den beiden Polen. In der Mitte des schwarzen Stabes ist ein grüner Punkt (L) markiert.

[[Datei:Konstruktion Lemniskate_2.gif|right]]
Bewegt man jetzt einen der Stäbe, passiert folgendes: Der rote Stab kreist um den Punkt F1, der blaue Stab, gezogen vom schwarzen Stab bewegt sich im Kreis um den Punkt F2. Der schwarze Stab befindet sich dazwischen und der

markierte grüne Punkt L zieht die Kurve der Lemniskate nach.

Verknüpft mit beiden Kreisbewegungen, schwingt der grüne Punkt schleifenförmig um die beiden Pole herum. Während er um den linken Pol (F1) schwingt, bewegt sich der rote Stab schnell, er scheint die Zugkraft zu besitzen, während der blaue seine Geschwindigkeit verlangsamt. Wenn der schwarze Stab wieder senkrecht steht, kippt die Anordnung: nun beschleunigt der blaue Stab und der rote wird langsam, während der grüne Punkt auf der Kurve der Lemniskate um den rechten Pol (F2) herumschwingt.

Im Internetlexikon Wikipedia kann man unter dem Stichwort Lemniskate die Bewegung eines Lemniskatenlenkers in einer Animation betrachten.

Im Gegensatz zur "Quadratur des Kreises" ist eine "Quadratur der Lemniskate" geometrisch einfach: Die Fläche, die die Lemniskate umschreibt, ist genauso groß wie der Flächeninhalt des (in der Zeichnung grauen) Quadrates, das durch die Schnittpunkte der beiden oben beschriebenen Kreise und den beiden Polen F1 und F2 aufgespannt wird, der Wert beträgt 2a², wobei a der jeweilige Abstand der beiden Pole vom Zentrum der ganzen Anordnung ist.

[[Datei:Quadratur_Lemniskate.gif|left]]

'''Literatur:''' Standard; Wolfgang Haack, Darstellende Geometrie I-III, Sammlung Göschen de Gruyter; Arnold Bernhard, Projektive Geometrie aus der Raumanschauung zeichnend entwickelt, Verlag Freies Geistesleben; wikipedia, Wikimedia Commons, https://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/cassini1.htm

'''Autor:''' Ernst, Christine

Lemniskate

2025-11-12T12:37:41Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Lemniskate

'''Links:''' [[Unendlichkeit]], [[Polarität]], [[Hyperbel]], [[Ellipse]], [[Kreis]], [[Zwei]], [[Vier]], [[Eins]], [[Magier (Tarot)]]

[[index.php?title=Datei:Lemniskate.jpg]]

'''Definition:''' Eine (Bernoullische) Lemniskate ist eine zweidimensionale schleifenförmige Kurve. Der Begriff stammt von Jakob Bernoulli (1654 - 1705) und bezieht sich auf den griechischen Begriff „lemniscos“ =“ Band, Schleife“.

Geometrisch ist die Lemniskate definiert als der Ort aller Punkte P, deren Produkt der Abstände von zwei festen nicht identischen Punkten F1 und F2 gleich dem Quadrat des halben Abstandes zwischen den zwei Punkten F1 und F2 beträgt.

'''Information:''' Die Lemniskate wird auch als liegende Acht bezeichnet. In der Mathematik wird sie als Zeichen für Unendlich gebraucht: '''∞'''
Wegen der unendlich hin- und her schwingenden Bewegung, die die Form der Lemniskate impliziert, immer abwechselnd zwei Pole umkreisend, gilt die Lemniskate in der Esoterik als Symbol für die Ewigkeit.
Bei den [[Freimaurer]]n wird die Lemniskate als Symbol für die weltweite Bruderkette verwendet.
Der Magier aus dem Tarotspiel trägt als Hut eine Lemniskate.([[Magier (Tarot)]])
In der Kinesiologie wird mit ausgestreckten Armen die Form der Lemniskate nachgefahren, um die Verbindung zwischen den beiden Gehirnhälften zu intensivieren.

[[Datei:Lemniskate_Hyperbel.jpg|left]]

'''Interpretation: ''' Eine Lemniskate umkreist zwei voneinander verschiedene Punkte (Pole), der Schwung von der einen Seite kommend scheint gerade auszureichen, den entgegengesetzten Pol zu umkreisen. Deshalb kann die Lemniskate als Symbol für eine ausgeglichene Balance zwischen den verschiedenen Polaritäten welcher Art auch immer verstanden werden.Durch eine Inversion am Kreis wird eine [[Hyperbel]] in eine Lemniskate verwandelt – und umgekehrt. Man nennt diese Transaktion auch Kreisspiegelung, obwohl es sich nicht um eine geometrische Spiegelung im eigentlichen Sinne handelt.[Die mathematische Festlegung ist dabei folgende: Zu jedem Strahl durch den Mittelpunkt M einer Hyperbel ( hier grün gezeichnet) gibt es einen Punkt A, für den gilt: Der Abstand vom Mittelpunkt M zum Schnittpunkt des Strahls mit der Hyperbel (Punkt B) multipliziert mit dem Abstand von M nach A ist gleich dem Quadrat des Kreisradius r. Alle Punkte, für die diese Festlegung gilt, bilden eine Lemniskate (hier blau gezeichnet).]

Durch diese Inversion am Kreis werden alle vier ins Unendliche verschwindenden offenen Enden der Hyperbel auf den einen Mittelpunkt (M) der Lemniskate abgebildet. Aus dem am weitesten Entfernten wird das Allernächste, das Zentrum, der Mittelpunkt.- und aus der [[vier]] die [[eins]].

Während die [[Hyperbel]] das Zerrissen-Sein des Menschen zwischen den Polaritäten darzustellen scheint, so zeigt die Lemniskate eine ausgeglichene Balance. Vielleicht könnte man die mathematische Transaktion der Kreisspiegelung, die vom einen zum anderen führt, als Konzentration, Zentrierung, Verinnerlichung oder auch als Rücknahme von Projektionen verstehen?

(Natürlich ist auch hier, wie bei jeder „psychologischen Deutung“ mathematischer Gegebenheiten, eine angemessene Vorsicht geboten.)

[[Datei:Konstruktion Lemniskate_1.gif|left]]

Dass eine Lemniskate die wechselseitige Beziehung zwischen zwei Polen darstellt, lässt sich durch die Konstruktion mit einem Lemniskatenlenker besonders schön und anschaulich darstellen.

Hier wird deutlich wie beim Umfahren der Schleife auf der einen Seite der Einfluss des einen Pols schwindet, während gleichzeitig der andere Pol an Einfluss gewinnt – und umgekehrt. Zwei Pole sind hier als Punkte F1 und F2 dargestellt. Sie sind gleichzeitig Mittelpunkte zweier Kreise, die sich so schneiden, dass zwischen ihren zwei Schnittpunkten und den beiden Mittelpunkten F1 und F2 ein Kreuz mit vier gleich langen Teilstrecken entsteht.

Die beiden Pole F1 und F2 werden jetzt durch drei gelenkig miteinander verbundene Stäbe verbunden (rot, schwarz, blau). Die Länge des roten und der blauen Stabes entspricht dem Radius der Kreise. Der schwarze Stab zwischen den beiden ist so lang wie der Abstand zwischen den beiden Polen. In der Mitte des schwarzen Stabes ist eine grüner Punkt (L) markiert.

[[Datei:Konstruktion Lemniskate_2.gif|right]]
Bewegt man jetzt einen der Stäbe, passiert folgendes: Der rote Stab kreist um den Punkt F1, der blaue Stab, gezogen vom schwarzen Stab bewegt sich im Kreis um den Punkt F2. Der schwarze Stab befindet sich dazwischen und der markierte grüne Punkt L zieht die Kurve der Lemniskate nach.

Verknüpft mit beiden Kreisbewegungen, schwingt der grüne Punkt schleifenförmig um die beiden Pole herum. Während er um den linken Pol (F1) schwingt, bewegt sich der rote Stab schnell, er scheint die Zugkraft zu besitzen, während der blaue seine Geschwindigkeit verlangsamt. Wenn der schwarze Stab wieder senkrecht steht, kippt die Anordnung: nun beschleunigt der blaue Stab und der rote wird langsam, während der grüne Punkt auf der Kurve der Lemniskate um den rechten Pol (F2) herum schwingt.

Im Internetlexikon Wikipedia kann man unter dem Stichwort Lemniskate die Bewegung eines Lemniskatenlenkers in einer Animation betrachten.

Im Gegensatz zur "Quadratur des Kreises" ist eine "Quadratur der Lemniskate" geometrisch einfach: Die Fläche, die die Lemniskate umschreibt, ist genau so groß wie der Flächeninhalt des (in der Zeichnung grauen) Quadrates, das durch die Schnittpunkte der beiden oben beschriebenen Kreise und den beiden Polen F1 und F2 aufgespannt wird, der Wert beträgt 2a², wobei a der jeweilige Abstand der beiden Pole vom Zentrum der ganzen Anordnung ist.

[[Datei:Quadratur_Lemniskate.gif|left]]

'''Literatur:''' Standard; Wolfgang Haack, Darstellende Geometrie I-III, Sammlung Göschen de Gruyter; Arnold Bernhard, Projektive Geometrie aus der Raumanschauung zeichnend entwickelt, Verlag Freies Geistesleben; wikipedia, Wikimedia Commons, https://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/cassini1.htm

'''Autor:''' Ernst, Christine

Datei:Quadratur Lemniskate.gif

2025-11-12T12:36:17Z

Anlumue:

2025-11-12T10:09:14Z

Anlumue:

Polarität

2025-11-12T09:56:33Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Polarität

'''Links:''' [[Coniunctio]], Funktion, transzendente, [[Libido]], [[Paar]], [[Progression]], [[Regression]], [[Zwei]]

'''Definition:''' Polarität (griech. polos: Himmelsgewölbe am Pol) bezeichnet die Entfaltung einer Wesenseinheit in zwei entgegengesetzte, sich aber zugleich bedingende oder ergänzende Richtungen.

'''Information:''' In den verschiedenen philosophischen, psychologischen und religiösen Systemen wie auch im Alltagsleben werden immer wieder universale Polaritätspaare beschrieben, erlebt und in vielfältigen Formen symbolisch ausgestaltet:

Sein und Nicht-Sein, Materie und Energie, Licht und [[Dunkelheit]], Leben und Tod, Dynamik und Stabilität, Ein und Aus, Ja und Nein, Innen und Außen, [[Oben]] und [[Unten]], Links und Rechts, Hinten und Vorne, Vor und Zurück, [[Aufstieg]] und [[Abstieg]], Loslassen und Handeln, Vergangenheit und Zukunft, Jung und Alt, Körper und [[Geist]], Weiblich und Männlich, Gut und Böse, Wahrheit und Täuschung, Schönheit und Hässlichkeit, Macht und [[Liebe]], Bewusstes und [[Unbewusstes]].

'''Interpretation:''' Polaritäten sind der Herzschlag und der Atem des Lebens. Sie bestimmen die Dynamik des körperlichen, seelischen und sozialen Geschehens. Sie sind die Basis schöpferischer Entwicklung oder destruktiver Konflikte im Menschen wie in der Welt. Je nachdem, ob sie in einer ausgewogenen, lebendigen Spannung, in einem dynamischen Fließgleichgewicht zueinander stehen oder ob sie sich einander hemmen oder blockieren, bleibt ein System gesund oder wird krank. Schließen sich die Pole aus, entwickeln sich entsprechende Einseitigkeiten, es konstellieren sich innere und äußere Konflikte bis hin zu Katastrophen und Kriegen.

Polaritäten werden manchmal zu Quaternitäten ([[Quaternität]] / Quaternio) oder zu noch differenzierten Modellen miteinander verbunden ([[Integrale]] Psychologie [[Mandala]], [[Pentaolon-System]]), beispielsweise bei den Elementen Feuer, Wasser, Luft und Erde, den vier Jahreszeiten und den vier Himmelsrichtungen.

Diese vierfache Anordnung hat Bezug zu dem universalen Symbol des [[Kreuz]]es, dem eine außerordentliche Bedeutung in vielen Kulturen zu kommt. Die Bedeutung des Kreuzes ist keineswegs auf die christliche Kultur beschränkt. Aber [[Christus]] am Kreuz vermittelt ein Bild der absoluten Gegensatzspannung der Polaritäten im Menschen und zwischen dem Göttlichen und dem Menschlichen. Das [[Kreuz]] ist vielleicht der intensivste Ausdruck der Gegensätze in unserer Kultur. Es ist auch ein Bild des existenziellen Ausgespanntseins des Menschen zwischen einem [[Oben]] und [[Unten]], zwischen dem Dunklen und dem Hellen, zwischen Himmel und [[Erde]] oder zwischen Himmel und [[Hölle]].

Die im Prozess der [[Individuation]] entstehende Verbindung zwischen den Polen ist meist mit intensiver Angst verbunden, ein deutlicher Hinweis, welche Energien in dem jeweiligen Pol festgehalten sind, die dem Leben nicht zur Verfügung stehen. Ohne die Verbindung der Pole kann auch kein Erlebnis einer inneren Mitte entstehen, es gibt nur das Gefühl der Leere bei hoher innerer Anspannung und Verkrampfung, verbunden mit dem Gefühl geladen zu sein oder auf einem [[Vulkan]] zu sitzen. Deshalb ist die Bezogenheit der Pole Voraussetzung von seelischer Gesundheit und gelingendem Leben. Jung hat in dieser Bezogenheit und Verbundenheit - von ihm auch als Vereinigung der Gegensätze ([[Coniunctio]], [[Mysterium coniunctionis]]) beschrieben - eine zentrale Bedeutung für den gesamten Lebensprozess erkannt. Der Kampf und das Spiel der Polaritäten, ihr fortwährendes Sich-Trennen und Einander-Verbinden reicht wohl von den Anfängen unseres Universums bis zum Ende aller Zeiten: "Gestaltung - Umgestaltung des ewigen Sinnes ewige Unterhaltung." (Goethe)

'''Literatur:''' Standard

'''Autor:''' Seifert, Theodor

Parabel

2025-11-12T09:52:46Z

Anlumue:

'''Keyword:''' Parabel

'''Links:''' [[Ellipse]], [[Kreis]], [[Hyperbel]]

'''Definition:''' Der Name Parabel stammt vom griechischen parabole „Nebeneinanderstellung“, zurückzuführen auf para „neben“ und bállein „werfen“.
Eine Parabel ist eine ins Unendliche geöffnete Kurve. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand zu einem festen Punkt F (dem Brennpunkt der P.) und einer Geraden l (der Leitgeraden der P.) gleich groß ist.
Diese Bezeichnung bezieht sich auf die sogenannte Exzentrizität ε, welche die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform beschreibt. Der ε-Wert eines Kreises ist gleich 0, der einer Parabel gleich 1.

[[Datei:Parabel_01_72.JPG]]

In der Literatur bezeichnet man eine mit dem Gleichnis verwandte, lehrhafte kurze Erzählung als Parabel.

'''Information:''' Die Parabel gehört wie der Kreis, die Ellipse und die Hyperbel zu den sogenannten Kegelschnittkurven. Das sind Kurven, die entstehen, wenn ein (Doppel-) kegel von einer Ebene geschnitten wird. Die vier Kurven gehen auseinander hervor: Wenn die Schnittebene sich dreht, werden aus dem Kreis Ellipsen, dann eine Parabel und dann Hyperbeln. Unter anderem entstehen Kegelschnittkurven bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises.

[[Datei:sym-kegelschnitte_72.jpg]]

[[Datei:Parabel_02_72.JPG]]

Eine Parabel geht aus einer Ellipse hervor: Bewegt man einen Brennpunkt der Ellipse (hier: F2) weg vom anderen (hier: F1), so wird die Ellipse immer länglicher, bis schließlich F2 unendlich weit entfernt ist. Dann ist die Kurve eine Parabel.

Wie der Kreis ist eine Parabel also eine Sonderform der Ellipse: beim Kreis fallen die beiden Brennpunkte zusammen, bei der Parabel liegt einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen.

[[Datei:Parabel_03_72.JPG]]

Alle Strahlen, die von F1 ausgehen, werden an der Kurve so reflektiert, dass sie parallel zueinander im Unendlichen verschwinden. In der Sprache der Projektiven Geometrie sagt man, sie schneiden sich im Unendlichen. Umgekehrt werden alle zur Hauptachse der Kurve parallelen Strahlen an der Parabelkurve so reflektiert, dass sie sich im Brennpunkt F1 treffen.

Alle Strahlen, die von F1 ausgehen, werden an der Kurve so reflektiert, dass sie parallel zueinander im Unendlichen verschwinden. In der Sprache der Projektiven Geometrie sagt man, sie schneiden sich im Unendlichen. Umgekehrt werden alle zur Hauptachse der Kurve parallelen Strahlen an der Parabelkurve so reflektiert, dass sie sich im Brennpunkt F1 treffen.

Diese „Brennpunkt“-Eigenschaft der Parabel wird in der Technik angewandt, z. B. für Parabolspiegel, die parallel einfallendes Licht auf einen Punkt bündeln und dort sehr große Temperaturen erzeugen können, oder bei Autoscheinwerfern, bei denen umgekehrt das Licht einer punktförmigen Lichtquelle in parallele Lichtstrahlen umgewandelt wird. Bei der perspektivischen Abbildung eines Kreises entsteht als Abbild des Kreises immer genau dann – und NUR dann - eine Parabel, wenn der Betrachtende den Kreis berührt, also beim Übergang von innen nach außen oder umgekehrt.

So wie auch die anderen Kegelschnittkurven Ellipse und Hyperbel findet man die Parabel in der Natur als „Spuren“ der vierten Dimension (Zeit oder Bewegung): So beschreibt z.B. ein hüpfender Ball, ohne Beachtung der Reibungsverluste Parabelbögen.
Bei einer Hängebrücke mit einer gleichmäßig über die Spannbreite verteilten Streckenlast stellt sich eine parabelförmige Hängekurve ein.

Umgedreht benötigen gleichmäßig belastete Bögen in Parabelform ein Minimum an Material, weil nur Druckkräfte und keine Schub- oder Biegekräfte entstehen.

'''Interpretation:''' Es ist immer wieder versucht worden, Gesetzmäßigkeiten der Mathematik, im übertragenen Sinne zu verstehen, besonders, wenn dabei der Aspekt der Unendlichkeit eine Rolle spielt. Nun basiert aber die Mathematik auf einer klaren Logik, die nur wahr oder falsch kennt und deshalb im Gegensatz zu symbolischen Betrachtungen steht, da diese eher ein Sowohl-als-auch–Denken benötigen. Insofern sind symbolische Betrachtungen von mathematischen Zeichen und Formeln mit besonderer Vorsicht zu sehen.

Eine Parabel entsteht, wie oben beschrieben, aus einer Ellipse, wenn der eine Brennpunkt der Ellipse im Unendlichen verschwindet. Die bei der Ellipse beschriebene wechselseitige Beziehung zwischen den beiden Brennpunkten (alle Strahlen von einem Brennpunkt werden an der Ellipsenkurve so reflektiert, dass sie sich im zweiten Brennpunkt treffen und umgekehrt), verschiebt sich bei der Parabel zu einer wechselseitigen Beziehung zwischen einem realen Punkt und dem Unendlichen:

Alle Strahlen, die vom Brennpunkt ausgehen, werden von der Parabelkurve so reflektiert, dass sie parallel zueinander im Unendlichen verschwinden, während die von dort kommenden Strahlen im Brennpunkt wieder konzentriert werden.
Diese wechselseitige Beziehung zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen, zwischen dem Konkreten und dem Unkonkreten, eignet sich m. A. als Bild für solche Situationen, in denen ein Mensch ganz offen ist für das Unendliche, das große Ganze, das Göttliche oder auch das Kollektive Unbewusste. Und wenn man diesem Bild glauben möchte, dann ist diese Offenheit eine wechselseitige.

Die Parabel erscheint als Abbild des Kreises in Momenten des Überganges von innen nach außen und umgekehrt. Genau in diesem Moment – und nur dann - entsteht diese besondere Kurve mit ihren eigenen Gesetzmäßigkeiten.

So scheint die Parabel ausdrücken zu können, dass in Übergangssituationen wie Anfang und Ende, Geburt und Tod, etc., aber auch in jedem einzelnen intensiv erlebten Augenblick, der ja den Übergang von der Zukunft in die Vergangenheit darstellt, der Mensch eine Einheit mit dem Kosmos bildet. So flüchtig dieser Moment sein kann, so stabil und universell ist er gleichzeitig. (Meister Eckehart spricht vom „gegenwärtigen Nun“, in dem der Sohn Gottes in der Seele geboren wird.)

'''Literatur:''' Standard; Wolfgang Haack, Darstellende Geometrie I-III, Sammlung Göschen de Gruyter; Rudolf Schmidt, Perspektive Schritt für Schritt, Bauverlag Wiesbaden und Berlin; Arnold Bernhard, Projektive Geometrie aus der Raumanschauung zeichnend entwickelt, Verlag Freies Geistesleben; www.kegelschnitte.de; Nikolaus Pevsner, Europäische Architektur, Prestel Verlag; Roman und Patrick Hocke, Michael Ende, Die Unendliche Geschichte, Das Phantasien-Lexikon, Thienemann Verlag; Friedrich Weinreb, Der göttliche Bauplan der Welt, Origo Verlag.

'''Autor:''' Ernst, Christine